Práctica de Métodos de la Física Matemática.
Área de Física Teórica. Dpto. Física. UEx

: Santos Bravo Yuste. Email:  santos@unex.es

Fórmulas de integración de Gauss (cuadratura de Gauss)

En este cuaderno vamos a aprender en qué consisten las fórmulas de integración de Gauss.  Estas formúlas se caracterizan por ser muy precisas a pesar de requerir un numero pequeño (con relación a las fórmulas de integración de Newton-Cotes)  de  evaluaciones de la función a integrar.

Polinomios de interpolación
Polinomios de interpolación de una función  f .  El polinomio ha de pasar por los puntos contenidos en la lista   listaxk

La función equipuntos[n_] genera una tabla de puntos equiespaciados en el intervalo [-1,1] (ambos extremos incluidos).

Un ejemplo:

alpha[x_,listaxk_] proporciona el polinomio α(x)  (véase el guión de practicas)  donde x_k son los componentes de la lista que llamamos listaxk.

deralpha[x_,listaxk_] proporciona la derivada con respecto a x del  polinomio α(x)

Un ejemplo:

coefpi[m_,x_,listaxk_] proporciona la función c(x,x_m) (véase el guión de la práctica) donde x_m es el m-ésimo punto de la lista  de puntos llamada listaxk

Un ejemplo:

poliinterpola[x_,f_,listaxk_]  proporciona el polinomio de interpolación de Lagrange de la función f que pasa por los puntos de  listaxk. En el guión de prácticas se le llama  (x).

Un ejemplo.  Dibujamos el polinomio de interpolación de la función  cos(x) que pasa por los puntos de la lista  puntos3 y comparamos con la gráfica de la función cos(x). La línea roja es el polinomio de interpolación y la línea azul es el coseno.

Ejercicio 1: vamos a comprobar que el polinomio de interpolación se aproxima tanto más a f(x) cuanto mayor es el número de puntos de interpolación que usamos

Ahora vamos a usar una función f(x) un poco más enrevesada que el coseno en el intervalo [-1,1]:

f[x_]=0.3604242700385263 - 0.2859353381541252*x - 
  1.4348876857265924*x^2 + 2.1844018015303113*x^3 - 
  4.8343080908090785*x^4 + 2.4191882435488177*x^5 + 
  1.3915241814906099*x^6 - 4.278574852602567*x^7 - 
  4.720156693312884*x^8 - 0.6428146216358843*x^9 + 
  1.4534839207500816*x^10 + 4.528289022106261*x^11 - 
  2.7772444114996464*x^12 - 4.07493353487623*x^13 + 
  4.97255928084053*x^14 - 2.35378696839158*x^15 - 
  4.087173433313763*x^16 + 2.4066219548996215*x^17 - 
  1.3840320860954547*x^18 + 3.005116267279011*x^19 + 
  0.8217695864556585*x^20 + 4.622208898794499*x^21 - 
  1.6719052089391495*x^22 - 0.22298828147541416*x^23;

Comparamos  el polinomio de interpolación de f(x) que pasa por puntos3 con la función f(x). La línea roja es el polinomio de interpolación y la azul es f(x)

Generamos una lista de 5 puntos equiespaciados, mostramos la lista y hallamos el polinomio de interpolación de f(x) que pasa por estos puntos.

Comparamos  el polinomio de interpolación de f(x) que pasa por puntos5 con la función f(x).La línea roja es el polinomio de interpolación y la azul es f(x).

Generamos una lista de 9 puntos equiespaciados, mostramos la lista y hallamos el polinomio de interpolación de f(x) que pasa por estos puntos.

Comparamos  el polinomio de interpolación de f(x) que pasa por puntos9 con la función f(x).La línea roja es el polinomio de interpolación y la azul es f(x).

Aquí tienes instrucciones para generar al azar funciones polinómicas f2[x_] de grado mm y comparar f2(x) con los polinomios de interpolación de f2(x) que pasan por equipuntos[nptos]. Enjoy!

Ejercicio 2: ahora comprobamos que el polinomio de interpolación de   mm+1     puntos de un polinomio   poli[x]    de grado   mm   es justamente igual a    poli[x]

Formulas de integración interpolatorias  ~~

Calculamos el coeficiente   w[k_,listaxk_]= = para función peso r(x)=1 en el intervalo [a,b]= [-1,1]

Si usamos tres puntos equiespaciados, los coeficientes w_k son los de la regla de Simpson (= fórmula de Newton-Cotes de 3 puntos).

Calculamos los coeficientes de la fórmula de Newton-Cotes de 5 puntos:

IntegraFormuInterpola[f_,listaxk_] proporciona la expresión aproximada de la  integral  .   Aquí es el elemento k-ésimo de listaxk.

Ejercicio 3: vamos a comparar diversas estimaciones proporcionadas  por las fórmulas de integración aproximada de Newton-Cotes de 3, 5 y 9 puntos con el resultado que proporciona la función  NIntegrate   de Mathematica.

Formula de integración de Gauss-Legendre

En la fórmula de Gauss-Legendre de n  puntos, los puntos  x_k  con k=1,..,n , son justamente los n  ceros del polinomio de Legendre de grado n.  En Mathematica, este polinomio viene dado por la función  LegendreP[n,x].
La función raicesLeg[n_] proporciona una lista con los n ceros del polinomio de Legrendre de grado n.

La función raizLeg[n_,m_]  proporciona el elemento m-ésimo de la lista a lista  raicesLeg[n] de los  n ceros del polinomio de Legrendre de grado n.

wGaussLegendre[k_,n_] proporciona el coeficiente de la fórmula de Gauss-Legendre de n puntos.

IntegraGaussLegendre[f_,listaxk_] proporciona la expresión aproximada de la  integral  .según el método de Gauss-Legendre.  Esto significa que viene dado por  wGaussLegendre[k_,n_]  y   es ell  k-ésimo cero del polinomio de Legendre de orden n.

Fórmula explícita de la cuadratura de Gauss-Legendre de n puntos para una función   fun    cualquiera

Resultados aproximados proporcionados por fórmulas de Newton-Cotes de 3,5,9,13 y 17 puntos, junto con el resultado hallado con NIntegrate para la función f definida anteriormente

Ejercicio 4: vamos a comparar  las fórmulas de integración aproximada de Newton-Cotes y de Gauss_Legendre.
de 3, 5 y 9 puntos con el resultado que proporciona la función  NIntegrate   de Mathematica.

Resultados proporcionados por la fórmulas de integración aproximada de Newton-Cotes de 3, 5,  9, 13 y 17 puntos junto con el resultado que proporciona la función NIntegrate de Mathematica.

Resultados aproximados proporcionados por fórmulas de Gauss-Legendre de 3, 5,  7 y 10 puntos, junto con el resultado hallado con NIntegrate para la función f definida anteriormente.  Compárense estos resultados con los obtenidos en la celda anterior.  ¿Convincente?

Ejercicio 5.  Construye la función IntegraGaussLaguere[f, n]  que calcule mediante la cuadratura de Gauss-Laguerre la integral    .
Compara los resultados obtenidos para n=10 con los exactos si f(x)= x^m  con m= 0,1,... 25.  
Halla los valores de w_k  y   x_k correspondientes a n=6 y n=10 y compara con los proporcionados en Abramowitz-Stegun [1]

Ejercicio 6.  Construye la función IntegraGaussHermite[f, n]  que calcule mediante la cuadratura de Gauss-Hermite la integral    .
Compara los resultados obtenidos para n=10 con los exactos si f(x)= x^m  con m= 0,2, 4,...22.  
Halla los valores de w_k  y   x_k correspondientes a n=6 y n=10 y compara con los proporcionados en Abramowitz-Stegun [1]

[1] M.Abramowitz y I. A.Stegun, Handbook of Mathematical Functions.  Dover, Nueva York, 1972.