Práctica de Métodos de la Física Matemática.
Área de Física Teórica. Dpto. Física. UEx

: Santos Bravo Yuste. email:  santos@unex.es

Resolución numérica de la ecuación difusiva
                               = ,
con u(x,t=0)=x si x<=1/2, u(x,t=0)=0 si x>=1/2, u(0,t)=u(1,t)=0 ,  mediante el método explícito.

Introducimos las condiciones iniciales  u(x,t=0)=x si x<=1/2   y  u(x,t=0)=0 si x>=1/2  usando una discretización  Δx, de tamaño 1/nmax

Representamos gráficamente las condiciones iniciales

Introducimos las condiciones de contorno:  u(x=0,t)=u(x=1,t)=0

Implementamos la fórmula  de integración del método explícito.  La función u[j_,m_] proporciona la solución en el punto  x_j=j Δx en el instante  t_m=m Δt,  

Vamos a integrar usando el valor s=1/4. Esto  garantiza la estabilidad del método de resolución

sol[m] nos proporciona la lista {t_m,u(x_j,t_m)}, j=0,..,nmax, con la solución u(x,t) en los puntos x_j en el instante t_m

p[m]  dibuja  sol[m]  mediante puntos gordos situados en (t_m,u(x_j,t_m)),  aunque no se muestra la gráfica debido a la opción DisplayFunction->Identity.  

La función pp[m] es identica a p[m] salvo que en vez de puntos gordos  se trazan líneas que unen las coordenadas  (t_m,u(x_j,t_m)) de la solución

Para ver la solución usamos la instrucción Show con la opción  DisplayFunction->$DisplayFunction.  Aquí mostramos la solución para t_m=20 Δt

A constinuación se muestra la solución para t_m con m=0,4,8,12,16,32,64

Ejercicios:
(1) Compara  la solución exacta del problema anterior con la solución numérica aproximada hallada mediante el método explicito cuando se usan distintos valores de nmax (digamos, nmax=10,20,50).
(2) Resuelve el problema anterior usando s=1.  ¿Qué sucede?
(3) Resuelve el problema anterior usando s=1/2.  ¿Qué sucede?
(4)* Resuelve el problema para las condiciones iniciales u(x,t=0)=u_0=2. Compara con la solución exacta.
(5)* Resuelve el problema suponiendo que las condiciones de contorno dependen del tiempo.  Por ejemplo, usa la condición de contorno u(0,t)=sen(w t), u(1,t)=0. ¿Cómo dependen los resultados obtenidos del valor de w?
(*=opcional)