Práctica de Métodos de la Física Matemática.
Área de Física Teórica. Dpto. Física. UEx

: Santos Bravo Yuste. email:  santos@unex.es

Resolución numérica mediante el método explícito de la ecuación difusiva bidimensional
                             = + .

En este cuaderno de Mathematica vamos a resolver la ecuación difusiva bidimensional anterior en un cuadrado de lado L donde los puntos situados sobre una cruz centrada en (L/2,L/2) se fijan a temperatura 1.  Esta cruz tiene brazos de tamaño  L/2  que se disponen paralelos a los lados del cuadrado.    

Introducimos las condiciones iniciales  y las  condiciones de contorno:  u(x=0,t)=u(x=1,t)=0

Empezamos asignando temperatura cero a todos los puntos (x_j,y_l)  en el instante inicial (t=0): u(x,y,0)=0.
  Recordad que x_m=m Δx,   e    y_l=l Δy.  Aquí tomamos jmax=lmax=16 como el valor máximo de j y l.  Podemos usar otro valor para jmax y lmax, pero hay que ser prudentes y no usar un número demasiado grande si no queremos hacer trabajar demasiado  al ordenador y no queremos aburrirnos esperando la salida de los resultados.

Asignamos temperatura u=1 para todo instante  t  a los puntos sobre una cruz centrada de tamaño L/2 por L/2

Asignamos temperatura u=-1 en el instante  t=0 a los puntos situados en el lado superior (j=0)

Asignamos, para cualquier instante posterior a t=0,  la temperatura u=-1 a los puntos situados en el borde superior (j=0) y temperatura 0 a  los  situados en los otros tres lados:

Comprobamos que las condiciones iniciales y de contorno son las deseadas.

Comprobamos que las condiciones de contorno son las deseadas. Para ello mostramos la solución en un instante tm  posterior a t=0.

Representamos las condiciones iniciales  en una gráfica tridimensional.

Fórmula de integración del método explícito.  La instrucción   u[j_,l_,m_]:=u[j,l,m]=...., hace que una vez evaluado u[j.l,m], este valor quede en memoria y no necesite ser evaluado de nuevo.  Esto hace que el  cálculo de u para m grandes se lleve a cabo con rapidez.

Vamos a integrar usando  s=1/4. Esto  garantiza la estabilidad del método de resolución.

Veamos la solución en un instante tm cualquiera

Una gráfica tridimensional con la  solución en el instante t=20Δt:

Veamos la solución mediante un código de colores en el instante t=tm  (tm=0,5,10,20,30)

Veamos la solución mediante un mapa de líneas  isotérmicas

Ejercicios

(1) Integra el sistema usando s=1/2. ¿Qué sucede?
(2) Resuelve el problema empleando otras condiciones iniciales y/o de contorno (las que más te motiven/gusten/interesen).  Puedes, por ejemplo, hacer que estas condiciones dependan del tiempo.